Дуальные числа

Дуальные числа или (гипер)комплексные числа параболического типа — гиперкомплексные числа вида [math]\displaystyle{ a+\varepsilon b }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] — вещественные числа, а [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] — абстрактный элемент, квадрат которого равен нулю, но сам он нулю не равен. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math]. Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид [math]\displaystyle{ a\varepsilon }[/math]. Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.

Замечание. Иногда дуальные числа называют двойными числами, хотя обычно под двойными числами понимается иная система гиперкомплексных чисел.

Определение

Алгебраическое определение

Дуальные числа — это пары вещественных чисел вида [math]\displaystyle{ (a,\;b) }[/math], для которых определены операции умножения и сложения по правилам:

[math]\displaystyle{ \ (a_1,\;b_1)+(a_2,\;b_2) = (a_1+a_2,\;b_1+b_2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ (a_1,\;b_1) (a_2,\;b_2) = (a_1 a_2,\;a_1 b_2 + a_2 b_1) }[/math]

Числа вида [math]\displaystyle{ (a,\;0) }[/math] отождествляются при этом с вещественными числами, а число [math]\displaystyle{ (0,\;1) }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], после чего определяющие тождества примут вид:

[math]\displaystyle{ \varepsilon^2=0,\quad(a,\;b)=a+b\varepsilon }[/math]

[math]\displaystyle{ (a_1+\varepsilon b_1)+(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1+a_2)+\varepsilon (b_1+b_2), }[/math]

[math]\displaystyle{ (a_1+\varepsilon b_1)(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1a_2)+\varepsilon (a_1b_2+a_2b_1). }[/math]

Более кратко, кольцо дуальных чисел есть факторкольцо [math]\displaystyle{ \R[x]/(x^2) }[/math] кольца вещественных многочленов по идеалу, порождённому многочленом [math]\displaystyle{ x^2 }[/math].

Линейное представление

Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим [math]\displaystyle{ \varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]. Тогда произвольное дуальное число примет вид

[math]\displaystyle{ a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} }[/math].

Показательная форма

Для экспоненты с дуальным показателем верно следующее равенство:

[math]\displaystyle{ \mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x }[/math]

Данная формула позволяет представить любое дуальное число в показательной форме и найти его логарифм по вещественному основанию. Она может быть доказана разложением экспоненты в ряд Тейлора:

[math]\displaystyle{ \mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+ \frac{(\varepsilon x)^2}{2!} + \frac{(\varepsilon x)^3}{3!} + \cdots }[/math]

При этом все члены выше первого порядка равны нулю. Как следствие:

[math]\displaystyle{ \sinh \varepsilon x = \sin \varepsilon x = \varepsilon x }[/math]

[math]\displaystyle{ \cosh \varepsilon x = \cos \varepsilon x = 1 }[/math]

Арифметические операции

• Сложение

  [math]\displaystyle{ (a+b\varepsilon)+(c+d\varepsilon)=(a+c)+(b+d)\varepsilon }[/math]

• Вычитание

  [math]\displaystyle{ (a+b\varepsilon)-(c+d\varepsilon)=(a-c)+(b-d)\varepsilon }[/math]

• Умножение

  [math]\displaystyle{ (a+b\varepsilon) (c+d\varepsilon)=(ac)+(bc+ad)\varepsilon }[/math]

• Деление

  [math]\displaystyle{ \frac{a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2} \varepsilon }[/math]

Корни

Корень n-й степени из числа вида [math]\displaystyle{ a+\varepsilon b }[/math] определяется как

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a} + \frac{\varepsilon b}{n \sqrt[n]{a^{n-1}}}. }[/math]

Дифференцирование

Дуальные числа тесно связаны с дифференцированием функций. Рассмотрим аналитическую функцию [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], область определения которой можно естественным образом продолжить до кольца дуальных чисел. Можно легко показать, что

[math]\displaystyle{ f(x+y\varepsilon) = f(x) + y\varepsilon f'(x). }[/math]

Почему это так

Как известно,

[math]\displaystyle{ (a + b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k, }[/math]

то есть

[math]\displaystyle{ (x + y\varepsilon)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^{n-k} (y\varepsilon)^k, \qquad (1) }[/math]

но так как все степени [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] больше единицы равны нулю, то

[math]\displaystyle{ (x + y\varepsilon)^n = x^n + nx^{n-1}y\varepsilon. }[/math]

Теперь рассмотрим разложение функции в ряд Маклорена (с разложением в ряд Тейлора все аналогично):

[math]\displaystyle{ f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} f^{(k)}(0) \frac{x^k}{k!}. }[/math]

Рассмотрим ту же функцию от дуального аргумента:

[math]\displaystyle{ f(x + y\varepsilon) = \sum_{k=0}^{+\infty} f^{(k)}(0) \frac{(x + y\varepsilon)^k}{k!}. }[/math]

По формуле (1) получаем

[math]\displaystyle{ f(x + y\varepsilon) = \sum_{k=0}^{+\infty} f^{(k)} \frac{x^k + kx^{k-1}y\varepsilon}{k!} = \sum_{k=0}^{+\infty} f^{(k)} \frac{x^k}{k!} + y\varepsilon\sum_{k=1}^{+\infty} f^{(k)} \frac{x^{k-1}}{(k-1)!}. }[/math]

Второе слагаемое — не что иное, как разложение в ряд производной функции [math]\displaystyle{ f }[/math], то есть

[math]\displaystyle{ f(x + y\varepsilon) = f(x) + y\varepsilon f'(x). }[/math]

Q.E.D.

Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций.

Можно провести аналогию между дуальными числами и числами нестандартного анализа. Мнимая единица ε кольца дуальных чисел подобна бесконечно малому числу нестандартного анализа: любая степень (выше первой) [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] в точности равна 0, в то время как любая степень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Значит, если [math]\displaystyle{ \delta }[/math] — бесконечно малое число, то с точностью до [math]\displaystyle{ o(\delta) }[/math] кольцо гипердействительных чисел вида [math]\displaystyle{ \R+\R\delta }[/math] изоморфно кольцу дуальных чисел.

Литература

• И. М. Яглом Комплексные числа и их применение в геометрии. М.:Физматлит, 1963. 192 с.
• V.V. Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One arXiv:0707.4024  (англ.)